博弈论02

进化论 （Evolution）

1. 博弈论对生物学的重大影响，尤其在动物行为学中
   • 把基因看成策略，把遗传适应性当做收益，好的策略使种群不断壮大，即有适合基因的个体会繁衍，带有不适合基因的个体会灭绝。
   • 将动物的行为（策略）看做是天生，而不是自由选择
2. 生物学尤其是进化生物学，对社会科学产生了重大影响

简化模型

• 专注于种内竞争
• 通过双人对称博弈来进行研究
• 很大的种群，采取的策略是与生俱来的
• 随机配对。即采取相对成功策略的个体数量会增长，相反 则会减少。
• 不存在基因的重新分配。

[!question] 合作是否是一个进化稳定(Evolutionarily Stable)的策略
假设有$1 − \epsilon$ 的蚂蚁都是合作型
$C\sim [(1-\epsilon)C, \epsilon D]=2-2\epsilon$
$D\sim[(1-\epsilon)C, \epsilon D]=3-2\epsilon$
D的收益更高，因此C相对于D不是进化稳定策略

[!question] 背叛是否是一个 ES？
做一次反向试验来进行验证
假设有$1 − \epsilon$ 的蚂蚁都是背叛型
$C\sim [(1-\epsilon)C, \epsilon D]=2\epsilon$
$D\sim[(1-\epsilon)C, \epsilon D]=1+2\epsilon$
D的收益更高，因此D相对于C是进化稳定策略

提示

1. 自然选择的进化结果是很糟的
2. 严格劣势策略不会成为ES

[!lesson]
如果策略 s 或者(s, s)不是 NE，那么策略 S 就不是 ES。即如果 s 是进化 ES，那么(s, s)一定是 NE。

[!lesson]
如果(s, s)是严格 NE，即 s 是针对 s 的严格BR，那么就 s 是 ES

进化稳定策略--经济学定义

一个双参与人的对称博弈，策略 $\hat s$ 是纯策略 ES，如果满足两个条件

1. 如果$(\hat s,\hat s)$是对称NE。即$u(\hat s,\hat s)\gt u(s',\hat s) for \space all\space s'$
2. 如果$(\hat s,\hat s)$是对称NE，且$u(\hat s,\hat s) = u(s',\hat s)$，则$u(s',\hat s)\gt u(s', s') for \space all\space s'$

[!example]
$\hat s$为原始个体，𝑠′为入侵的突变个体，上面定义的意思就是原始个体配对的收益要大于原始个体和突变体配对的收益。如果两者的收益相等， 那么后者的收益必须严格大于两个突变体配对。即是突变体在任何配对情况下都拿不到比原始个人更高的收益，如此当前种群的进化策略稳定。